“La risoluzione dei problemi è stata la spina dorsale dell’insegnamento matematico dall’epoca del papiro Rhind. La risoluzione dei problemi è ancora, a mio avviso, la spina dorsale dell’insegnamento nei livelli secondari – e sono sgomentato del fatto che una cosa così evidente abbia bisogno di essere sottolineata”. Questa frase è di Georg Polya, matematico ungherese, famosissimo per un suo libro, How to solve it, forse il primo grande best seller matematico: ha venduto milioni di copie ed è stato tradotto in diciassette lingue. Collega senza equivoci l’insegnamento della matematica con la risoluzione dei problemi, e nella sua scia si è orientata gran parte della riflessione didattica: un’altra grande ricercatrice, Anna Zofia Krygowska, ha scritto che “la risoluzione dei problemi è la forma più efficace non solo dello sviluppo dell’attività matematica degli allievi, ma anche dell’apprendimento delle conoscenze, delle abilità, dei metodi e delle applicazioni matematiche”.
Matematica e risoluzione di problemi sono spesso associati, quindi, ma questa associazione è perlomeno a due facce: da un lato, porre e risolvere problemi è la via maestra per l’apprendimento; dall’altro, lo sviluppo della capacità di porre e risolvere problemi è considerato uno degli obiettivi principali dell’insegnamento della disciplina. È abbastanza evidente che si tratta di due facce della stessa medaglia, aspetti che sono stati sottolineati in tutti i programmi e le indicazioni che la scuola italiana si è data. I Programmi per la scuola elementare del 1985 affermavano esplicitamente che “il pensiero matematico è caratterizzato dall’attività di risoluzione di problemi”, e l’ambito “Problemi” era (un po’ impropriamente) un campo specifico del programma, al pari dell’aritmetica, della geometria e della logica.
Nelle Indicazioni (Moratti) attualmente in vigore troviamo esplicitati obiettivi come “Riconosce e risolve problemi di vario genere analizzando la situazione e traducendola in termini matematici”. Nelle Indicazioni per il curricolo (Fioroni), si riprende l’espressione del 1985: “Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione di problemi, che devono essere intesi come questioni autentiche e significative, legate spesso alla vita quotidiana, e non solo esercizi a carattere ripetitivo”. A questo approccio è legato anche la possibilità di migliorare il rapporto dei ragazzi con questa disciplina così spesso mal vista e mal vissuta: “Di estrema importanza è lo sviluppo di un atteggiamento corretto verso la matematica… riconosciuta e apprezzata come contesto per affrontare e porsi problemi significativi”.
Anche l’ultima riforma della secondo ciclo batte sullo stesso punto: nel profilo in uscita del liceo scientifico si pone come obiettivo “comprendere le strutture portanti dei procedimenti argomentativi e dimostrativi della matematica…usarle in particolare nel’individuare e risolvere problemi di varia natura”. Nelle Linee guida per i Tecnici individuare le strategie appropriate per la risoluzione di problemi è uno degli obiettivi fondamentali.
Tutti d’accordo, dunque. Ma nella pratica è proprio così? Siamo così sicuri che l’insegnamento della matematica si sviluppi secondo questi principi, e soprattutto siamo così sicuri di centrare l’obiettivo?
Gli insegnanti, soprattutto quelli del primo ciclo, sanno che non è così. L’esperienza ci propone continuamente situazioni in cui gli allievi, di fronte a un problema di matematica, lasciano da parte razionalità e buon senso. Casi celeberrimi come l’età del capitano hanno aperto la strada a ricerche, riflessioni e discussioni: ma in definitiva ci hanno mostrato come l’insegnamento della matematica, spesso, abitua i nostri allievi ad agire e pensare in modo completamente opposto, rispetto ai nostri nobili obiettivi.
(Un gruppo di ricercatori francesi pose a bambini delle scuole elementari “problemi” del tipo seguente: Su una nave ci sono 26 pecore e 10 capre; quanti anni ha il capitano? I bambini, quasi tutti, senza esitazioni risposero: 36! La prova fu ripetuta in diverse condizioni, con altri bambini o con ragazzi più grandi, cambiando la forma di presentazione della domanda, ma i risultati cambiarono di poco).
Una prima, ovvia, considerazione è che se la pratica didattica si basa solo su esercizi ripetuti e tecniche apprese meccanicamente, i ragazzi tenderanno a ritentare sempre meccanicamente le stesse procedure, limitando l’uso della materia grigia e affidandosi ciecamente agli automatismi (“molti matematici cercano di trasformare in zombie i propri allievi dal primo momento in cui li incontrano”, disse una volta Vladimir Arnol’d). Un’altra, è che gli insegnanti propongono il più delle volte problemi che non sono altro che esercizi camuffati, e i ragazzi cercano di risolvere quello che viene loro proposto più per assonanza e somiglianza che utilizzando il pensiero. Ma allora che ne è degli alti obiettivi da cui eravamo partiti?
Tra pochi giorni i nostri ragazzi del liceo scientifico affronteranno la prova scritta di matematica dell’esame di Stato – che comprende lo svolgimento di un problema, tra due che verranno proposti -, e l’esperienza degli anni passati, in particolare quella della ricorrezione effettuata dall’Invalsi su un campione di prove degli anni 2007 e 2009, ci offre alcuni spunti, che forse possono trasformarsi in piccoli suggerimenti per i candidati.
La prima osservazione è che i nostri ragazzi quasi mai arrivano in fondo al problema: rispondono a qualche punto, e via via che procedono lasciano per strada dei pezzi. La percentuale di quelli che arrivano in fondo al problema che hanno scelto è inferiore al 10%, e non sempre questo avviene perché non sanno come risolverlo. Un problema è spesso visto solo come un insieme di passaggi da fare, non come una domanda a cui cercare di rispondere; non ha molta importanza se i calcoli che faccio non portano da nessuna parte, l’importante è farne un po’. Conta far vedere che ho studiato e che so qualcosa di quell’argomento, non rispondere alla domanda. Ma perché non abituiamo di più i ragazzi, alla fine, a tirare le somme, a verificare che quello che conclude il loro lavoro è davvero la risposta alla domanda che era stata posta? Oltre a tutto, così facendo, avrebbero probabilmente la possibilità di individuare almeno alcuni dei propri errori.
Più in generale sembra quasi, leggendo molti svolgimenti, che la domanda sia poco importante; l’importante è applicare qualche formula di quelle che sono state studiate in quel contesto. Quasi mai negli svolgimenti si leggono frasi del tipo “siccome devo trovare questo, allora faccio quest’altro”. Quasi mai i nostri ragazzi spiegano perché fanno un certo calcolo, o che relazione ha con la domanda del problema la costruzione che stanno facendo. Claude Lévi-Strauss diceva che lo scienziato è l’uomo che pone le vere domande, non quello che dà le risposte. I nostri ragazzi sembrano poco interessati a comprendere le domande: forse perché sono poco abituati, almeno in matematica, a cercarle e a comprenderne il senso.
Negli svolgimenti, le singole affermazioni sono troppo spesso slegate; non viene quasi mai esplicitato il nesso tra un calcolo e l’altro, tra una costruzione e la successiva. Manca, o non viene messa in campo, la capacità di costruire argomentazioni articolate. Chi corregge fa fatica a trovare il disegno complessivo, la strategia di risoluzione.
Forse anche perché viziati da troppi esercizi sempre uguali, le scelte dei ragazzi (che devono scegliere 5 quesiti su 10 che vengono proposti) si orientano, inevitabilmente, su quesiti che sembrano loro familiari, trascurando sistematicamente quelli dall’aspetto o la formulazione insolita – che spesso peraltro sono i più semplici. Negli ultimi anni i quesiti più scelti sono quasi sempre stati quelli in cui la percentuale di riuscita è risultata drammaticamente più bassa. Un piccolo consiglio anche qui: guardare quello che chiede la domanda, sforzarsi di capirne il senso prima ancora di cercare di trovare quale formula o quale procedura occorrerà utilizzare per rispondere; non scegliere guardando soltanto ai contenuti, al fatto che i simboli che vediamo scritti ci ricordano una pagina intera di esercizi del libro. Nel 2009 la stragrande maggioranza dei ragazzi ha scelto di calcolare un limite dall’aspetto familiare, e l’80% di essi è caduto nello stesso, prevedibile, errore. Fiducia cieca nella somiglianza esteriore.
Ragazzi, spesso rispondere è più facile di quello che pensate; solo che non pensate abbastanza a cosa dovete rispondere.