L’itinerario didattico progettato a partire dalla presentazione dei risultati e delle dichiarazioni relative alla caduta dei gravi da parte di Galilei e Riccioli può assumere varie forme a seconda degli obiettivi che ci si pongono. Quanto di seguito proposto va inteso quindi solo come una traccia che si potrà semplificare, integrare o modificare.
Iniziare con la definizione del problema a partire dal testo galileiano con il quale si è introdotto questo lavoro e dalle obiezioni di Riccioli. A questo proposito, potrebbe essere interessante, anche se non essenziale, far realizzare pendoli di lunghezza dell’ordine di 3-4 cm, il cui periodo di oscillazione è, rispettivamente di 0,35-0,40 s, e invitare gli allievi a utilizzarli per qualche misura di tempo allo scopo di rendersi conto della difficoltà che Riccioli, che utilizzava pendoli di lunghezza ancora minore, dovette incontrare nei suoi esperimenti al fine di realizzare una precisa valutazione del tempo di caduta.
Eseguire esperimenti per valutare le modalità di caduta in verticale di oggetti di varie dimensioni e densità. Nell’ambito di un laboratorio sarà indispensabile utilizzare un sensore di posizione ma si potrebbe non rinunciare, qualora fosse possibile, a misure in «campo aperto» eseguite da gruppi di allievi da quote di 15-20 m. In tale caso si rilevi il tempo di caduta per oggetti quali una sfera di ferro e di vetro, una pallina da tennis, una da ping-pong, un pezzo di polistirolo espanso di forma irregolare. In ogni caso le misure si dovrebbero concludere con la valutazione dell’accelerazione media di caduta.
Discutere gli esperimenti di cui al punto B) e confrontare i valori dell’accelerazione media ottenuta nei vari casi con il valore accreditato di g nel vuoto.
Ricercare le cause che determinano i valori sperimentali rilevati. A questo proposito si dovrà:
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Prendere in considerazione l’esistenza della spinta archimedea che si oppone al peso del corpo per valutare in quali condizioni essa può assumere valori comparabili con il peso del corpo (eseguire il calcolo almeno per una pallina da ping-pong e per una pallina di ferro dopo aver misurato la loro massa e il loro diametro)
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Introdurre un discorso relativo ai moti laminare e turbolento; optare, nel caso in esame, per questo secondo tipo di moto e illustrare la relazione:
F = c δ A vN [a]Dove c indica il fattore di forma del corpo in caduta, d la densità dell’aria, A l’area della sezione principale del corpo in caduta che per una sfera è data da A = π R2, v la velocità istantanea del corpo e N l’esponente della velocità che, solitamente, si pone uguale a 2 ma che, per velocità molto elevate, può assumere anche valori maggiori
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Valutare l’effetto della forza espressa dalla [a] applicando il metodo numerico sintetizzato nel box che segue, metodo che fa uso di un foglio Excel.
| Metodo numerico per determinare la forza F = c δ A vN Supporre che l’oggetto in caduta sia una sfera di massa M e raggio R e che la densità dell’aria sia d; assumere per il fattore di forma c = 0,5 (valore tipico per un corpo di forma sferica); e introdurre un parametro N che rappresenta l’esponente della velocità nella [a]. Calcolare il peso P della sfera (P = M*9,81). Assegnare un valore (molto piccolo, ad esempio 0,01) all’intervallo di tempo ΔT che rappresenta il passo temporale con il quale si determinano i valori dei vari parametri nel tempo. Introdurre i valori di M, R, δ, c, N, ΔT in apposite celle della colonna A, ad esempio in A2, A4, A6, A8, A10, A12 e utilizzare la cella A14 per il calcolo di P. Facilitare la lettura del foglio collocando nelle celle A1, A3, …, A13 un termine o un simbolo che caratterizzi il contenuto delle celle A2, A4, …, A14. Utilizzare le colonne B, C, D, E, F, G per il calcolo ricorsivo dei parametri del moto (di seguito suggeriamo una possibile procedura):
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L’esito di questo calcolo mette in evidenza che l’effetto dell’aria è significativo per oggetti di densità media molto bassa e grandi dimensioni (per la pallina da ping-pong per esempio), ma che modifica pochissimo il valore dell’accelerazione di oggetti quali sassi e sfere metalliche di dimensioni ordinarie.
Al termine si dovrà quindi evidenziare che il valore di 5 s per 100 braccia di caduta verticale di una palla di ferro, del tipo di quella che Galilei dichiara di aver usato nel suo esperimento, non può essere condizionato né dalla spinta archimedea né dall’attrito dell’aria e ciò giustifica la ricerca di una causa diversa per quel valore.
Introdurre la giustificazione galileiana dei 5 s leggendo il passo corrispondente riportato nell’articolo, esplicitandone il significato con le relazioni [1] e [2] e dimostrando la loro applicabilità nel caso dei moti puramente traslatori che si sviluppano in assenza di attrito.
Confermare sperimentalmente il punto E) mediante esperimento con carrello in moto su un piano inclinato a bassissimo coefficiente di attrito (o di un cavaliere su una rotaia a cuscino d’aria) e valutare, mediante sensore di posizione, la sua accelerazione a lungo il piano; determinare successivamente il valore di g con la relazione a = g sin α essendo α l’inclinazione del piano.
Mettere in evidenza che l’esperimento galileiano con il piano inclinato prevedeva l’uso di una palla di bronzo che rotolava su un piano inclinato dotato di scanalatura (a tale scopo leggere il passo corrispondente riportato nell’articolo).
Eseguire un esperimento con una sfera che rotola lungo un piano inclinato senza scanalatura (molto più facile da reperire) lungo almeno due metri e valutare l’accelerazione traslazionale a’ della sfera o mediante sensore di posizione o a partire dal tempo impiegato dalla sfera per percorrere il piano. Per questo secondo esperimento sarebbe consigliabile utilizzare una sfera di bronzo di diametro dell’ordine dei 40 mm (il suo costo è di circa 50 euro) per maggior aderenza agli esperimenti galileiani; è ovvio però che una sfera di acciaio di identiche dimensioni (molto meno costosa) consentirebbe di ottenere risultati analoghi.
Determinare, a partire dal valore di a’, il valore dell’accelerazione di gravità con la relazione a’ = g’ sinα.
Confrontare fra loro i valori di g e g’ e calcolare il tempo di caduta in verticale di una sfera dall’altezza di 100 braccia galileiane (55 m) utilizzando i valori di g e g’ determinati con gli esperimenti F) e H).
Evidenziare che il valore di g’ non giustifica pienamente il valore del tempo di caduta da 100 braccia dichiarato da Galilei.
Interpretare secondo le leggi della dinamica il moto del carrello (esperimento al punto F) e della sfera (esperimento al punto H)) e dedurre le espressioni teoriche delle accelerazioni a e a’ per i due oggetti nel caso di totale assenza di attriti e nel caso in cui si consideri anche l’attrito volvente della sfera (il coefficiente dell’attrito volvente può essere determinato a partire dai valori rilevati con l’esperimento descritto al punto H).
Completare l’analisi dell’esperimento galileiano valutando la diminuzione di velocità (e di accelerazione) conseguente all’effetto della scanalatura presente nel piano inclinato da lui utilizzato.
Presentare il ripensamento galileiano sul tempo di caduta da 100 braccia (tenere presente in proposito il contenuto dell’ultima parte dell’articolo) ed eseguire in laboratorio un esperimento analogo a quello eseguito da Galilei finalizzato allo studio della percossa. A tale scopo si usi una puleggia in plastica o in alluminio (di raggio dell’ordine di qualche centimetro e di massa molto piccola) e si utilizzino carichi dell’ordine di 200-300 grammi; carichi dell’ordine di cento grammi sarebbero caratterizzati da una differenza di peso troppo poco diversa dalla forza di attrito prodotta dal perno della puleggia. Per questo esperimento, qualora non si utilizzi un sensore di posizione, conviene realizzare una caduta di almeno 1,5 m così da poter misurare un tempo di caduta non inferiore a 2,5 s, apprezzabile con discreta precisione con un normale cronometro. È indispensabile valutare in via preliminare la forza di attrito prodotta dalla puleggia; potrebbe anche essere utile mettere in evidenza che, data la piccola massa di questa, gli effetti del suo momento di inerzia sulla dinamica complessiva del fenomeno, in particolare sul valore dell’accelerazione con cui si muovono i due carichi (supposti di massa almeno pari a 200 g), possono essere trascurati.
Nota conclusiva
Ricordiamo innanzitutto i concetti e le leggi richiamati da questo percorso didattico.
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La legge del moto uniformemente accelerato.
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La relazione che esprime il periodo del pendolo.
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La correlazione fra forza, massa e accelerazione.
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Il concetto di accelerazione di gravità.
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Il concetto di spinta archimedea (includente quello di densità assoluta).
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L’espressione della forza di attrito che si sviluppa su un corpo che si muove nell’aria.
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La dinamica del moto di un corpo rigido di forma sferica che rotola lungo un piano (includente i concetti di momento di una forza, momento di inerzia, accelerazione angolare).
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I concetti di attrito radente e di attrito volvente e la loro espressione formale.
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I criteri generali per la definizione del risultato di una misura.
Come si vede, questo percorso teorico-sperimentale relativo alla caduta dei gravi secondo Galilei, si dipana attraverso un notevole corpo di leggi, termini, concetti, misure che può trovare applicazione sia in attività sperimentali, sia nella soluzione di problemi numerici (richiesti dalla stessa analisi degli esperimenti), sia nell’uso di un foglio elettronico per lo sviluppo di un calcolo ricorsivo.
L’attenzione agli aspetti storici della fisica non genera dunque solo «reperti da museo», ma percorsi didattici di piena attualità specialmente per un corso di fisica del triennio liceale.
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Paolo Marazzini
(già Docente di Fisica presso le Scuole Secondarie di Secondo Grado, autore di libri di testo per i Licei)
© Pubblicato sul n° 48 di Emmeciquadro