A distanza di 150 anni dalla pubblicazione del lavoro di Maxwell in cui compaiono le famose equazioni che reggono tutto l’elettromagnetismo e identificano la luce come onda elettromagnetica, l’autore riesamina la loro importanza e le loro conseguenze nello sviluppo della scienza. L’importanza teorica risiede nell’unificazione dei fenomeni elettrici e magnetici, quasi una profezia del tentativo di unificazione delle forze fondamentali, che da quasi un secolo è uno degli obiettivi, solo parzialmente riuscito, della Fisica. Ma anche nel collegamento con la nascita della relatività attraverso le trasformazioni di Lorentz. Infine anche i limiti di queste equazioni a livello dei fenomeni atomici hanno avuto conseguenze importanti, ma non hanno intaccato la loro validità nell’ambito dei fenomeni macroscopici.

SOMMARIO/ N° 88 – Settembre 2024 – Talento, Ricerca, Scoperta

Scheda di Approfondimento n°1

Le Equazioni di Maxwell

Anche se completamente equivalenti, le trascrizioni delle equazioni di Maxwell possono essere diverse tra loro e da quella originariamente usata da Maxwell.
Indicando con, , , e , rispettivamente, i vettori Campo e Induzione Elettrica, Campo e Induzione Magnetica, le equazioni di Maxwell in forma differenziale, possono essere scritte nella forma seguente:

EDITORIALE n. 88 - Talento, Ricerca, Scoperta

dove div e rot sono combinazioni di derivate parziali del primo ordine rispetto a x, y e z, note rispettivamente come operatore divergenza e operatore rotore mentre , la densità volumica di carica, e  , il vettore densità di corrente, sono le sorgenti del campo (a creare i campi sono infatti cariche e correnti).
I vettori , , ,  e  sono legati fra di loro dalle funzioni:

che esprimono le proprietà elettriche e magnetiche del mezzo in cui i campi viaggiano.
Per campi deboli, escludendo la presenza nel mezzo di materiali ferroelettrici e/o ferromagnetici,  f,  g ed h si riducono a semplici relazioni lineari tra le componenti di coppie dei vettori stessi:

SCIENZAinATTO/ Leggere una grande storia nelle righe di uno spettro

Le proprietà del mezzo sono ora espresse dalle componenti  di tre grandezze tensoriali: permeabilità o tensore dielettrico , permeabilità o tensore magnetico µ e conducibilità . In generale , ,  e   non sono paralleli.
Nel caso di un mezzo omogeneo ed isotropo, in particolare nel vuoto, diventa parallelo a , e  ad e i tensori si riducono ai noti scalari costante dielettrica, , permeabilità magnetica,   e conducibilità  .
Osserviamo che:

  1. La soluzione delle equazioni è sempre possibile, (in modi che qui non andremo ad affrontare) quando siano note la distribuzione delle cariche e delle correnti che creano i campi e le proprietà elettriche e magnetiche del mezzo.

  2. Le equazioni di Maxwell sono lineari pertanto vale il principio di sovrapposizione. Questa proprietà, combinata con i teoremi di Fourier consente di studiare le equazioni di Maxwell assumendo che  e  siano funzioni armoniche: in questo caso le equazioni possono essere trattate più facilmente.

  3. Semplici manipolazioni delle equazioni danno:  
    equazione di continuità che mostra che le equazioni di Maxwell soddisfano la conservazione delle carica.

  4. La forza di Lorentz:
    (x indica il prodotto vettore) estraibile anch’essa dalle equazioni di Maxwell permette di studiare il comportamento di una o più cariche immerse in un campo elettromagnetico(*)

(*) Allo studio e risoluzione delle equazioni di Maxwell hanno dato un grande contributo anche due fisici quasi omonimi Ludvig Valentin Lorenz (1829-1891), danese, e Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928), olandese. A causa di questa quasi omonimia non è chiaro a chi spetti la primogenitura nel ricavare questa forza. Di certo entrambi hanno dato contributi che portano a tale relazione: L.V. Lorenz, scrivendo per primo gli integrali che forniscono i potenziali ritardati utilizzati per risolvere le equazioni di Maxwell; H.A. Lorentz, individuando le trasformazioni dette appunto di Lorentz sotto le quali le equazioni di Maxwell risultano invarianti.

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Scheda di Approfondimento n° 2

 

 

Proprietà delle Onde Elettromagnetiche

 

 

Applicando in maniera opportuna gli operatori div e rot alle equazioni di Maxwell, ponendosi a grande distanza dalle sorgenti dei campi si arriva a:

(2 è una combinazione di derivate parziali di secondo grado nota come Laplaciano), dove ha le dimensioni di una velocità ed è il risultato delle proprietà del mezzo.
In un mezzo omogeneo e isotropo:

Nel vuoto (εr = 1 e μr = 1):

 

Pertanto:

    1.  e sono le due componenti di un unico campo, il campo elettromagnetico che si propaga anche nel vuoto;

    2. La velocità di propagazione coincide con la velocità della luce nello stesso mezzo;

    3. Se il mezzo è omogeneo l’indice di rifrazione di un mezzo è dato da:

      è l’indice di rifrazione del mezzo (se le proprietà elettromagnetiche del mezzo e quindi εr dipendono dalla frequenza anche n dipende dalla frequenza);

    4. A grande distanza dalle sorgenti del campo (approssimazione delle onde piane) l’onda  e l’onda sono entrambi trasversali, mutuamente ortogonali e viaggiano in fase. Pertanto le onde elettromagnetiche possono essere polarizzate;

    5. L’onda elettromagnetica trasporta energia equiripartita tra il campo  e il campo ; ogni modifica di si ripercuote su  e viceversa in modo da mantenere l’equipartizione dell’energia (non possono quindi esistere onde solo elettriche o solo magnetiche).  Il flusso di energia è dato dal Vettore di Poynting:

    6. Nell’attraversare un mezzo in cui sono presenti cariche in grado di sentire la forza di Lorentz in un periodo T l’onda cede a una carica una energia:
      ΔԐ =   e le trasmette un impulso:  

      Pertanto colpendo una superficie assorbente l’onda esercita una pressione:

      Con a = 1 se la radiazione incide normalmente alla superficie o a = 1/3 se le direzioni d’arrivo della radiazione sono distribuite isotropicamente. Se la superficie è riflettente i precedenti valori di a  vanno raddoppiati.

    7. Una carica q che risente una accelerazioneperde energia sotto forma di onde elettromagnetiche. Se la velocità v  è piccola rispetto alla velocità della luce c la potenza irraggiata è data dalla relazione:

     

    Giorgio Sironi
    (Università degli Studi di Milano-Bicocca)

     

     

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    © Pubblicato sul n° 53 di Emmeciquadro