L’isomorfismo tra la struttura delle operazioni sulle grandezze e quelle sui numeri è presentato a partire da una questione didattica elementare, il cambiamento di unità di misura.
L’autore offre un approfondimento critico sul piano concettuale di un contenuto particolare e al tempo stesso suggerisce una metodologia didattica.
Esiste un legame strettissimo tra misura e numeri, non solo perché si misura attraverso i numeri, ma perché esistono analogie strutturali tra le operazioni che si fanno sulle grandezze e quelle che si fanno sui numeri (isomorfismo).
Questo è un leitmotiv in tutta l’aritmetica: non solo è possibile semplificare la misura usando i numeri, ma è anche possibile usare la struttura della misura (di cui si fa esperienza diretta nelle azioni) come modello per comprendere e dare senso alle proprietà dei numeri.
Voglio evidenziare alcuni particolari di tale parallelismo e della sua possibile funzione didattica, per sottolineare che in aritmetica ricorrere al «concreto» non si riferisce tanto al fatto di far manipolare oggetti, quanto alla possibilità di compiere ed analizzare azioni di cui si evidenzia la struttura e che si impara a «tradurre» con un particolare linguaggio (in aritmetica quello delle operazioni e delle loro proprietà). Esplicito in questo modo l’idea di Fischbein di «modello generativo».
Limitiamoci a considerare il cambiamento di unità di misura e mostriamo alcuni suoi legami forti con i concetti aritmetici, anche in questo caso pensando soprattutto a una traccia per la formazione, cioè a una base concettuale per una rielaborazione didattica, che deve poi essere generata dall’insegnante secondo i suggerimenti di Freudenthal della «reinvenzione guidata», di cui più volte ci siamo già occupati per la matematica su questa rivista.
Le frazioni
Un modo possibile di generare una frazione (intesa come operatore) è fare riferimento a un cambiamento di unità di misura in una classe di grandezze. Questa via dà significato alle frazioni improprie, oltre che a quelle proprie.
Al contrario la concezione di frazione come parte di un intero non si adatta alla frazione impropria, a cui comunque occorre dare senso prima di iniziare a introdurre operazioni sulle frazioni (ricordiamo che per esempio 4/4 + 3/4, somma di due frazioni proprie, è una frazione impropria).
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Anna Paola Longo
(Docente di Analisi matematica. Politecnico di Torino)
© Pubblicato sul n° 15 di Emmeciquadro