Gli insegnanti sono portati a credere che problemi diversi che si risolvono con una stessa operazione siano tutti della stessa difficoltà. Niente di più falso.
La difficoltà di un problema non dipende solo dall’operazione, ma è legata a molti fattori, in parte linguistici, in parte dovuti alla conoscenza del contesto a cui si riferisce il problema.
Un aspetto che determina diversi livelli di difficoltà è la tipologia del problema, perché da questa dipendono le immagini che la mente deve elaborare per rappresentare la situazione, passo necessario per costruire un procedimento risolutivo.
L’autore esamina solo i problemi che si risolvono con addizioni o sottrazioni, in questi esplicita alcune possibili rappresentazioni schematiche, utili all’insegnante per comprendere la complessità della situazione e quindi il faticoso lavoro di rappresentazione interiore che devono fare gli allievi.
Non ci si occupa invece della trasposizione didattica, che sarà poi lunga e complessa, e avverrà tenendo conto di tutte le cautele necessarie.
Chiamerò struttura additiva l’insieme dei problemi che si risolvono con un’addizione o con una sottrazione. In essa esaminerò alcuni tipi per mettere in evidenza le differenze dal punto di vista delle immagini mentali, strettamente personali, necessarie agli allievi per costruire la soluzio¬ne. Alcuni di questi problemi riguardano situazioni che contengono in modo implicito l’idea di numero relativo, anche se si possono risolvere usando solo numeri naturali (cioè senza segno).
Occorre subito una precisazione. Quando i matematici, riferendosi alle operazioni, parlano di una struttura, si riferiscono a un insieme (astratto) dotato di una legge di composizione interna (per esempio la somma o la moltiplicazione) di cui si possono studiare le leggi in modo deconte¬stualizzato. Io parlerò invece di struttura riferendomi ai problemi.
L’ottica dello sviluppo del pensiero (quella che interessa nell’insegnamento) ri¬chiede di considerare le situazioni che generano l’apprendimento e quin¬di i problemi, gli aspetti matematici sono quindi sempre contestualizzati.
La formalizzazione mediante gli insiemi astratti potrà essere solo molto tardiva. Mi metterò dunque nell’ottica di Gerard Vergnaud che chiama «struttura additiva» l’insieme dei problemi che si risolvono con un’addi¬zione o con una sottrazione.
Egli dedica un notevole spazio sia alla classificazione dei problemi additivi che a quella dei problemi moltiplicativi nel campo dell’aritmetica. Riprenderò qui di seguito alcuni dei suoi esempi sulla struttura additiva integrandoli con altre situazioni di tipo geometri¬co [Vergnaud, 1994].
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Anna Paola Longo
(Docente di Analisi matematica. Politecnico di Torino)
© Pubblicato sul n° 34 di Emmeciquadro
