La parola è sorprendente! «Quasicristallo» è un’apparente contraddizione: una sostanza o è cristallina o non lo è.
Se non lo è, è amorfa, come il vetro; si possono avere cristalli imperfetti, di cattiva qualità, dovuta a un processo di cristallizzazione incompleto, ma i «quasicristalli» sono un’altra cosa.
I cristalli e l’ordine periodico
Un solido è detto cristallino quando la disposizione degli atomi o delle molecole al suo interno è ordinata e periodica.
Cristalli sono il cloruro di sodio, ovvero il sale da cucina, i minerali, che fanno bella nostra nei negozi specializzati e nei musei di storia naturale, i metalli e ovviamente le pietre preziose. Non lo è invece il vetro, anche se quello pregiato viene chiamato impropriamente cristallo.
Il fatto è ben noto ai matematici: non si può ricoprire una superficie piana con qualsiasi poligono regolare, ma solo con triangoli, quadrati ed esagoni.
Una caratteristica di una pavimentazione è che su qualunque piastrella del pavimento vi mettiate, ovviamente senza guardare le pareti, non vedete alcuna differenza: si chiama simmetria traslazionale, o periodicità. Non ci sono limiti a questa ripetizione se non quelli pratici: nell’esempio le pareti.
La stessa cosa avviene per le sostanze solide cristalline, dove gli atomi si dispongono periodicamente, in tre dimensioni, al contrario del vetro, in cui gli atomi sono disposti in maniera disordinata e casuale senza nessuna ripetizione ordinata.
La matematica dimostra che la simmetria pentagonale, secondo cui la figura non cambia dopo una rotazione di 1/5 di giro, non va d’accordo con la simmetria traslazionale, che permette solo le rotazioni di 1/2, 1/3, 1/4 e 1/6 di giro.
Esempi di assi di simmetria in un reticolo. Si vede come gli assi 3, 4 e 6 siano compatibili con la simmetria traslazionale mentre un asse 5 (simmetria pentagonale) non sia compatibile.
Il numero di combinazioni in cui gli elementi di simmetria permessi possono essere combinati è limitato; in tre dimensioni, ci sono 230 modi, non di più, di combinare la simmetria traslazionale con gli assi di rotazione e i piani di riflessione: sono i «gruppi spaziali».
Pensiamo all’incredulità di Shechtman quando, nel 1982 al U.S. National Institute of Standards and Technology (NIST), analizzando una lega, di alluminio e manganese, al microscopio elettronico ebbe l’evidenza di una simmetria pentagonale!
«Non è possibile!» disse – la stessa cosa che direbbe chiunque vedesse una piastrellatura di pentagoni perfettamente combacianti – e da bravo sperimentale si mise nuovamente a rivedere e a ripetere tutte le misure, ma il risultato non cambiava. Ovviamente non è che Shechtman vedesse direttamente gli atomi, vedeva quelle che sono chiamate «figure di diffrazione»; queste hanno una ben precisa relazione geometrica con la disposizione degli atomi – un po’ come guardando un arcobaleno si deduce la presenza delle gocce d’acqua che lo generano – perciò un errore era sempre possibile, soprattutto se il cristallo non era di buona qualità: era già, infatti, noto che cattivi cristalli, geminati, potevano dare simmetrie fittizie.
La diffrazione
Le figure di diffrazione si ottengono quando un’onda luminosa passa attraverso aperture di dimensioni molto piccole tali da essere comparabili con la lunghezza d’onda della luce. Un insieme ordinato di aperture di questo tipo costituisce un reticolo di diffrazione.
Quando la «luce» ha una lunghezza d’onda molto corta, come i raggi X, gli atomi di un solido costituiscono un reticolo di diffrazione: le distanze tra gli atomi sono dell’ordine di qualche Ångstrom (10-10m). Se la disposizione degli atomi è ordinata si ha una figura di diffrazione formata da una distribuzione, altrettanto ordinata, di macchie luminose, cosa che invece non accade per un vetro che genera una figura di diffrazione continua.
Si noti come nel primo caso la figura sia discreta mentre nel secondo è continua.
L’esperimento è schematizzato nell’immagine che segue a destra che mostra lo schema del fenomeno della diffrazione di raggi X da parte di un cristallo.
La meccanica quantistica afferma che le particelle microscopiche, come gli elettroni, manifestano un comportamento ondulatorio come la luce. In conseguenza di ciò un fascio di elettroni, come quello nel microscopio elettronico, può dare fenomeni di diffrazione. Questo era il tipo di misure che stava facendo Shechtman. Nell’immagine sopra a sinistra: figura di diffrazione di un quasi cristallo registrata da Shechtman nella quale è evidente la simmetria pentagonale.
L’ordine aperiodico
Il problema cui si trovava di fronte Shechtman era che accettare il risultato era assurdo, perché andava contro un principio matematico perfettamente dimostrato e non contro principi fisici che per loro natura sono sempre rivedibili. Tutti i membri del gruppo di lavoro giunsero persino a deriderlo e, siccome egli aveva fiducia nel suo risultato, il direttore lo invitò a lasciare il gruppo. Tornato ad Haifa cercò la collaborazione di un suo vecchio compagno di studi per ricavare la disposizione degli atomi nel cristallo; l’articolo fu immediatamente respinto dalla rivista a cui era stato inviato.
Shechtman cercò la collaborazione di altri cristallografi di prestigio che trovarono le sue misure ineccepibili. Alla fine l’articolo fu pubblicato da un’altra rivista suscitando un’enorme reazione tra i cristallografi che vedevano messo in crisi il principio fondamentale secondo cui i cristalli sarebbero una disposizione periodica di atomi. Tra i cristallografi di prestigio c’era anche Linus Pauling, lo scopritore della struttura alfa-elica del DNA, che pur riconoscendo la correttezza delle misure di Shechtman non ne accettò mai l’interpretazione.
Come spesso accade la teoria matematica era già disponibile. A metà degli anni Settanta del secolo scorso il matematico inglese Sir Roger Penrose aveva dimostrato come con solo due rombi diversi era possibile costruire una «tassellazione» (è questo il termine matematico che indica il problema di coprire un piano con una o più figure geometriche) che si ripeteva all’infinito in maniera non periodica e come questa avesse una simmetria pentagonale: ci sono infinti assi 5 che mantengono invariata la tassellazione.
Nel 1982 Alan Mackay, che aveva esteso la tassellazione di Penrose in tre dimensioni, aveva provato a simulare la figura di diffrazione che si sarebbe ottenuta se a ogni intersezione della tassellazione si fosse trovato un atomo, ottenendo una figura a simmetria decagonale.
Alla fine del 1984 Steinhardt e Levine riconobbero la somiglianza delle figure di diffrazione osservate con quelle simulate di Mackay e pubblicarono un articolo in cui descrivevano i risultati come una ripetizione aperiodica e coniavano il termine «quasicristalli», dato che la definizione ufficiale di cristallo era basata sulla periodicità. Così la scoperta generò una corsa tra i cristallografi a recuperare dati scartati perché ritenuti errati, che invece erano interpretabili come riferiti a strutture quasicristalline nel senso indicato.
Addirittura l’Unione Internazionale di Cristallografia fu costretta a rivedere la definizione di che cosa è un cristallo, non più «un solido con una ripetizione periodica» ma «qualsiasi solido che dia una figura di diffrazione discreta».
Questo dimostra ancora una volta come una scoperta sia già sotto gli occhi di molti e nessuno se ne renda conto: ci vuole che qualcuno abbia la capacità di guardare per portarla alla luce.
La cosa ricorda proprio il famoso racconto di Chesterton in cui Padre Brown è l’unico a intuire che la collana di brillanti che tutti cercavano si trovava dentro al lampadario di cristallo che avevano davanti al naso.
Emanuele Ortoleva
(Professore Associato di Chimica – Fisica presso l’Università degli Studi di Milano)
Note
- Daniel Shechtman, nato a Tel Aviv nel 1941 è ricercatore del dipartimento di Ingegneria dei Materiali del Technion (Istituto Israeliano di Tecnologia) di Haifa
Referenze sitografiche
- La pagina di Dan Shechtman al Technion: http://materials.technion.ac.il/st/
- Trattazione di Ron Lifshitz (Università di Tel Aviv): http://www.tau.ac.il/~ronlif/quasicrystals.html
- Definizione di cristallo aperiodico dell’Unione Internazionale di Cristallografia: http://reference.iucr.org/dictionary/Aperiodic_crystal
- Slide della relazione di Luca Bindi (in occasione del convegno organizzato dal CRIST, il Centro di Cristallografia Strutturale dell’Università degli Studi di Firenze, 18 febbraio 2011) su un minerale naturale a struttura quasicristallina. Interessante la parte introduttiva, molto specialistico il resto: http://www.crist.unifi.it/upload/sub/Relazione_Dr%20LucaBindi.pdf
- La pagina sulla tassellazione dal sito Wolfram MathWorld: http://mathworld.wolfram.com/Tiling.html
- Una bella pagina sui mosaici, ovvero problemi di tassellazione: http://www.matematita.it/personali/index.php?blog=6&cat=18
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Si chiama numero aureo E’ la soluzione positiva di La sezione aurea è quella che si ottiene risolvendo il problema di dividere il segmento in modo che Se allora A=f Per costruire un pentagono regolare occorre dividere un angolo giro in 5 parti: Ma Viceversa f è la diagonale del pentagono di lato unitario. f, pur essendo un numero irrazionale come p, a differenza di quest’ultimo, può essere costruito con squadra e compasso dato che un pentagono regolare può essere costruito in questo modo. La tassellatura di Penrose è formata da due rombi: uno di diagonali 1 e f e l’altro di diagonali 1 e 1/f. I due rombi, a) e b), che compongono la tassellatura di Penrose e un particolare della tassellatura, c) Il rapporto f è stato usato in molti aspetti dell’arte classica, per esempio il Partenone, le finestre rinascimentali che hanno lati 1 e f. La successione di Fibonacci: che si riscontra in diversi fenomeni naturali come, per esempio, la disposizione dei petali nei fiori, ha la particolarità che il rapporto tra un termine e il precedente tende al numero aureo: da una successione di numeri naturali si ottiene un numero irrazionale. Referenze sitografiche
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© Pubblicato sul n° 43 di Emmeciquadro