Con importanti riferimenti alla pratica didattica si propone come e perché sia necessario ancorare i passaggi della costruzione formale dei contenuti matematici ad aspetti materiali e concreti e come sia opportuno dare spazio a esperienze di tipo operativo. Gli alunni vanno guidati in un lavoro che permetta loro la costruzione personale di concetti, la scoperta di regole e procedimenti, attraverso attività che richiedono di operare in modo ordinato e finalizzato e nello stesso tempo creativo, attraverso la riflessione sulle attività svolte.
La scuola secondaria di primo grado è certamente un ponte tra la scuola primaria e la secondaria di secondo grado, ma la sua funzione specifica nell’educazione matematica non può essere identificata solo con la preparazione ai contenuti della scuola superiore.
Nella scuola primaria si inizia ad elaborare il pensiero matematico, si impara a simbolizzare e ad usare i simboli dei numeri e delle operazioni. Attraverso i problemi si impara a conoscere i significati delle operazioni. Si elabora attraverso esperienze una conoscenza operativa e si inizia a parlare di regole e proprietà, riconosciute attraverso la manipolazione di oggetti e non ancora nella loro generalità. Anche in geometria non si entra ancora nelle proprietà formali. La scuola secondaria di primo grado deve partire da questo livello di pensiero e condurre ad un livello superiore nell’astrazione e nel linguaggio.
Il rapporto con gli allievi è complesso, per il passaggio dalla fanciullezza all’adolescenza. Lo studio della matematica richiede concentrazione, capacità di osservazione, identificazione di relazioni numeriche, aggancio personale a situazioni paradigmatiche esemplari, e tutto richiede un certo silenzio interiore. Occorre che attraverso la matematica tutta la persona sia educata.
Per riconoscere un compito specifico alla matematica, è opportuno:
* precisare come potrebbe essere il percorso ideale di una scuola collocata tra la primaria e la secondaria di secondo grado, in un’ottica di sviluppo del pensiero matematico a lunga scadenza, cioè che coinvolge tutto il percorso scolastico;
* cercare di rilevare che cosa avviene davvero, cosa si aspettano gli insegnanti di un livello da quelli degli altri livelli, cosa pensano di dover dare e chiedere agli allievi.
La continuità
Questi temi confluiscono nella questione della continuità tra i vari ordini di scuola, problema che ha due facce: una riguarda i contenuti, l’altra riguarda invece l’evoluzione della capacità di astrazione e di comprensione dei significati della matematica. La prima questione ha dato vita a molti tentativi di coordinamento, ma è bene tenere presente che gli allievi hanno tempi di comprensione e di acquisizione molto diversi uno dall’altro e quindi non tutti arrivano allo stesso livello di padronanza alla fine di uno stesso percorso scolastico. Gli insegnanti accorti di scuola secondaria di 1° grado faranno il possibile per riprendere gli allievi dal livello reale della primaria frequentata.
“All’inizio io chiedo sempre di fare l’esercizio come ha insegnato loro la maestra e poi discutiamo, andiamo avanti. La maestra è il grande riferimento positivo per il bambino, se io mi pongo in alternativa o in contrapposizione, sono perdente. Il mio metodo deve apparire come un’evoluzione e non come una contrapposizione” (da un’intervista ad un docente di scuola secondaria di 1° grado)
Questo giudizio riconosce che non si può ignorare il legame affettivo tra il bambino e la maestra, né si può trascurare di collegare la conoscenza nuova con quella precedente. Ricordiamo che la scuola primaria è anche il momento in cui sono possibili importanti esperienze paradigmatiche, che segnano certamente una tappa a cui riferirsi successivamente, esperienze che per la loro significatività provocano la conoscenza implicita e che possono costituire perciò un riferimento sicuro anche per gli insegnanti di scuola secondaria. Dice infatti una maestra:
“Nella scuola secondaria di primo grado sarebbe sufficiente chiedere: questa definizione…questa formula…questo teorema…vi ricorda qualcosa di già conosciuto, qualcosa che avete affrontato alla scuola primaria? Sono certa che sarebbe utilissimo soprattutto all’insegnante. Non è la stessa cosa che dire: ma come, non l’avete già fatto alle elementari?”
Per la capacità di astrazione e di comprensione del pensiero matematico, non ci sono molti indicatori esterni, ma ci sono ampie possibilità didattiche di raccordo. Occorrono però insegnanti preoccupati di leggere il cammino di sviluppo del pensiero personale degli allievi e di provocarlo con la proposta di esperienze ricche, valorizzando anche tutte quelle che il ragazzo vive ed ha già vissuto. Gli errori sono spesso fonte di informazioni non solo sulle misconoscenze, ma anche sul livello di maturità raggiunto rispetto al pensiero matematico: “Gli errori possono essere fecondi. E le difficoltà possono far capire meglio” (D’Amore, 2008) E ancora: “Se un docente si limita a guardare il risultato e non il processo, non capisce che cosa c’è alle spalle”(D’Amore 2008). Quindi occorre una certa penetrazione psicologica, ma non basta. Occorre anche l’acume che deriva da una buona consapevolezza epistemologica sulla matematica. Racconta D’Amore: “In questa occasione il professor Speranza difese il valore culturale della competenza in epistemologia della matematica con parole molto forti, che mi colpirono. Giunse a dire che conoscere l’epistemologia della matematica è, per un docente, altrettanto importante che conoscere la matematica stessa; il senso da dare a questa affermazione è che conoscere solo la matematica non serve, se non si ha il senso della evoluzione del pensiero matematico”(Bolondi, 2012, pag.133).
Idee e linguaggio
Occorre riconoscere come il linguaggio specifico perfeziona il possesso di un’idea matematica, ma non si identifica pienamente con essa. L’idea deve nascere prima del linguaggio, provocata dall’osservazione di situazioni, dai problemi, dalla realtà, dalla storia. Si dà il nome a qualcosa che si vuole nominare. La prima preoccupazione degli insegnanti dovrebbe essere di provocare la nascita degli oggetti matematici, che sono mentali. Oggetti reali, ma del pensiero. La grande questione del calcolo letterale, tipica della scuola media, è uno strumento linguistico in cui tutto l’apprendimento numerico della scuola primaria viene generalizzato e rivestito di un nuovo linguaggio, funzionale ad affrontare nuovi problemi. Sappiamo che non è di facile comprensione: si usano le lettere al posto dei numeri, una novità che va preparata mediante esperienze ricche e significative, non solo esperienze concrete, ma anche concettuali, come il passaggio dal problema singolo alle classi di problemi.
Nel libro “Insegnare matematica” (Longo, Barbieri 2008, p. 157), A. Gorini descrive un metodo adeguato allo sviluppo mentale e culturale degli allievi in scuola media. L’apprendimento ha due protagonisti: l’allievo e l’insegnante. L’allievo è posto in condizione di elaborare la propria conoscenza in modo attivo; l’insegnante propone esperienze, fa domande opportune, riprende e conclude. Tutto questo ha come orizzonte la via didattica della reinvenzione guidata (Freudenthal, 1994) e si basa su una sicura conoscenza della matematica, cioè anche dell’iceberg concettuale (G.Vergnaud, 1994) che sostiene gli aspetti formali.
“Nella scuola secondaria di primo grado è ancora necessario ancorare i passaggi della costruzione formale dei contenuti matematici ad aspetti materiali e concreti, affinché l’acquisizione dei concetti e delle strutture sia stabile e affinché essi diventino padroneggiati strumenti personali di indagine. E’ opportuno quindi nel lavoro con i ragazzi di questo segmento scolastico dare spazio a esperienze di tipo operativo che costituiscono la base su cui procedere alla concettualizzazione. Gli alunni vanno guidati in un lavoro che permetta loro la costruzione personale di concetti, la scoperta di regole e procedimenti, attraverso attività che richiedono di operare in modo ordinato e finalizzato e nello stesso tempo creativo, attraverso la riflessione sulle attività svolte. E’ di fondamentale importanza che i concetti e i contenuti non vengano proposti in modo formale, ma conquistati attraverso attività didattiche significative in cui l’alunno si debba personalmente mettere in azione.
Anche gli aspetti di tipo convenzionale, che ricorrono nella simbolizzazione e nella pratica della matematica, possono essere introdotti in modo ragionato e giustificato, diventando così non imposizioni, ma conquiste intellettuali“. (Gorini, 2008)
Una nota: gli aspetti di tipo convenzionale non si scoprono, è l’insegnante a introdurli quando giudica che sia il momento opportuno.
I criteri esposti dal prof. Gorini, possono sembrare identici a quelli della scuola primaria, ma la situazione non è identica: c’è una base comune ma anche un grande salto, giustissimo e positivo. Diversa è infatti la portata del contenuto a cui si guidano i ragazzi. Un argomento come la scomposizione moltiplicativa dei numeri naturali, fino ai fattori primi, può essere banalizzato se presentato (come accade spesso) solo come un complesso di regole, mentre viene approfondito nel contenuto di pensiero se viene presentato e condotto nel modo descritto da A.Gorini. Un esempio interessante è l’articolo di Anna Marazzini sull’aritmetica (Marazzini, 2008), ma sono significativi anche gli altri articoli che riguardano la scuola media, contenuti nel testo (Longo, Barbieri, 2008).
Prosegue con DALLA PRIMARIA ALLE SUPERIORI/ 2. Geometria e realismo