La lunga storia del problema geometrico di ottimo, la cui soluzione ha portato nel 2022 la Medaglia Fields alla giovane matematica ucraina Maryna Viazovska, testimonia quanto la matematica sia una scienza viva.
E quanto abbia bisogno di essere offerta in modo entusiasmante alle menti giovani, perché si dispongano a entrare nel suo affascinante mondo di pensiero, anche sapendo che tempo, pazienza, impegno e passione alla scoperta sono indispensabili per ottenere risultati importanti.
Maryna Viazovska, nata a Kiev nel 1984, dopo essere stata portata dalla matematica in Germania per il dottorato, oggi lavora in Svizzera, all’Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne. Nel 2022 ha vinto la medaglia Fields, uno dei più prestigiosi premi per la matematica, soprattutto per i suoi risultati riguardanti il problema dell’impacchettamento di sfere in otto dimensioni.
Cosa significa impacchettamento di sfere? L’obiettivo di questo tipo di problema è quello di riuscire a riempire con il maggior numero di sfere di uguale dimensione e uguale raggio una zona ampia qualsiasi dello spazio euclideo d-dimensionale, senza che queste sfere si sovrappongano. Ricordiamo che nello spazio d-dimensionale una sfera è definita come la bolla di raggio r e centro un punto x = (x1, . . . , xd) con xi ∈ R per i=1, . . . , d:
B(x, r) = {y ∈ Rd : ∥x − y∥ < r},
dove ∥x − y∥ indica la distanza tra x = (x1, . . . , xd) e y = (y1, . . . , yd):
∥x − y∥ = √(x1 − y1)2 + . . . + (xd − yd)2.
Perché al giorno d’oggi siamo interessati all’impacchettamento di sfere? Oltre che per la disposizione di oggetti per il trasporto o l’immagazzinamento, questi risultati sono indispensabili per produrre codici correttori di errori nella ricostruzione di segnali. Dal momento che l’errore tra il segnale vero e il dato reale non può essere troppo grande, si può ragionare su sfere ben disposte il cui centro corrisponde a una parola in codice, cioè a un insieme di simboli, e il cui raggio è l’errore massimo.
L’obiettivo di un codice correttore di errori è codificare le parole in codice, che differiscono l’una dall’altra per al massimo 2r simboli: questo significa che la distanza tra i centri di sue sfere contigue è pari a 2r, esattamente il doppio del raggio. Quindi, se nella trasmissione di una parola in codice si presentano meno di r errori nella trasmissione, allora esiste al massimo una parola in codice a distanza minore di r dalla parola ricevuta: è il centro della sfera. In questo modo, si riesce a correggere l’errore. Ovviamente, l’ideale sarebbe riempire tutto lo spazio a disposizione con delle sfere: per questo motivo abbiamo bisogno di impacchettamenti molto densi, che riempiano il più possibile lo spazio.
Una situazione molto vicina alla realtà che corrisponde all’impacchettamento di sfere è immaginare di dover riempire una scatola con delle sfere uguali: quante sfere riusciamo a mettere nella scatola al massimo? Ovviamente, se la scatola è piccola la risposta dipende dalla forma della scatola e dalla dimensione delle sfere. Ma se la scatola è molto grande, la sua forma non conta più e intuitivamente si capisce che con le sfere si può coprire fino a una porzione massima dello spazio a disposizione. La percentuale massima dello spazio che riusciamo a coprire con delle sfere è chiamata costante di impacchettamento e la indicheremo, nel caso d-dimensionale, con Δd.
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Bianca Gariboldi
(Dipartimento di Ingegneria Gestionale, dell’Informazione e della Produzione, Università degli Studi di Bergamo)© Pubblicato sul n° 83 di Emmeciquadro