Immaginate una bella forma geometrica o un motivo grafico col quale realizzare una pavimentazione o tappezzare una parete. In quanti modi si può ripetere quel motivo per ricoprire completamente il piano con forme uguali, ottenendo quella che si chiama una tassellatura? Pensando alla grande varietà di mosaici, tappezzerie, inferriate, intarsi, merletti e arabeschi, meraviglierà sapere che i modi non sono illimitati né casuali, ma che c’è un numero ben preciso di possibilità.
Lo scopriranno i visitatori della mostra “Da uno a infinito. Al cuore della matematica” durante il prossimo Meeting di Rimini e noi qui, a chi non sapesse ancora la risposta, non sveleremo la soluzione. Ma anche senza sapere qual è il numero esatto, resta il fatto sorprendente che questo numero esiste e che è possibile dimostrare rigorosamente che le cose stanno così. Lo aveva già fatto sul finire dell’Ottocento il cristallografo russo E. S. Fedorov e poi lo ha dimostrato brillantemente nel 1924 il matematico George Polya all’interno di una nuova branca dell’algebra nota come “teoria dei gruppi”.
Consideriamo le immagini di mosaici, fregi o rosoni: sono disseminate nell’arte di ogni Paese e le loro perfette strutture incantano i nostri occhi e colpiscono la nostra mente. È il fascino delle simmetrie: è lo stesso che porta i bambini a scuola a riempire i quaderni di “grechine”; o che troviamo nei pavimenti di alcune piazze e di molte chiese; i disegni simmetrici sono utilizzati un po’ ovunque per abbellire edifici e oggetti.
Che cosa affascina di queste figure? Colpiscono la regolarità e, appunto, la simmetria che evoca qualcosa di ben equilibrato, un “rapporto tra le diverse parti per cui esse si integrano in un tutto”. Da sempre la bellezzarisulta intimamente legata alla simmetria, e la mente umana è attratta da ciò che rivela qualche aspetto di simmetria, come se essa fosse una specie di linguaggio naturale della forma delle cose.
Osservando bene immagini del genere, è facile accorgersi che la figura non cambia girandola o facendola scorrere: esistono cioè delle trasformazioni piane elementari (traslazione, rotazione, riflessione…) che, pur muovendo i punti, riportano la figura a essere come prima; ed esiste una forma-base, un “tassello generatore”, con cui si ricostruisce tutto l’oggetto applicando le trasformazioni elementari. Più sono le trasformazioni che non mutano l’immagine, più la figura risulta essere simmetrica. I matematici hanno chiamato “gruppo di simmetria” l’insieme delle trasformazioni che lasciano invariata la figura.
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Potete fare dei test sperimentando trasformazioni e invarianze sui celebri disegni dell’incisore e grafico olandese Maurits Cornelis Escher, cercando di individuare i singolari e fantasiosi tasselli generatori e i loro spostamenti che vanno a comporre quegli strani incastri di pesci, diavoli, cavalieri e lucertole. Come pure potrete ripetere lo stesso esercizio sulle immagini delle splendide decorazioni dell’Alhambra di Granada, dove gli artisti moreschi, inconsapevolmente, hanno rappresentato proprio quel numero di gruppi di simmetria individuato da Fedorov e Polya.
Non sarà un esercizio semplice. Forse vi sarà più agevole rinunciare alle strutture bidimensionali, come i mosaici, e provare con quelle monodimensionali, come i fregi, tipici dell’arte greca (sono appunto le “grechine” scolastiche) e romana: anche qui è stato dimostrato che c’è un numero limitato di trasformazioni, solo che sono meno delle precedenti e potreste trovarle.
Non è però solo la perfetta simmetria che suscita il nostro senso del bello. I curatori della mostra citano Louis de Bernieres quando dice che “il cuore umano ama un po’ di disordine nella sua geometria”; e segnalano come in alcune esecuzioni musicali per ottenere una soddisfazione nell’ascolto si provocano delle rotture di simmetrie troppo elementari. E proprio il “disordine” così ottenuto, che è tutt’altro che caos, fa riconoscere e apprezzare la struttura di simmetria che lo ospita. Lo sottolineava anche il grande matematico Hermann Weyl: “L’arte, come la vita stessa, è portata a mitigare, sciogliere, modificare e perfino spezzare la rigidezza della simmetria. Raramente però un’asimmetria indica semplicemente un’assenza di simmetria”.
Per questo tutti siamo naturalmente portati a ricercare la regolarità di strutture nascoste nella realtà di immagini quotidiane che sembrano dominate dal continuo stabilirsi e interrompersi di simmetrie. È forse un modo di esprimere la convinzione, spesso implicita, che ci sia qualcosa di profondo e imponente dietro al gioco dei modelli e delle forme.
