Il 21 maggio scorso gli Annals of Mathematics hanno accettato l’articolo “Bounded gaps between primes” di Yitang Zhang, un matematico cinese dell’Università del New Hampshire di Durham (UK), dove si dimostra che esistono infinite coppie di numeri primi che distano l’uno dall’altro meno di 70.000.000. Quindi esistono infinite coppie di numeri primi consecutivi la cui distanza non diventa arbitrariamente grande. Infinite peraltro non significa tutte: non è vero che la distanza tra ogni numero primo e il numero primo successivo è limitata; infatti, per ogni intero n maggiore di 1, gli n-1 numeri consecutivi n!+2, n!+3, n!+4, n!+5, …, n!+n sono tutti composti (ricordiamo che n!=2·3·4·5·….·n).
Si tratta di un risultato fondamentale in Teoria dei Numeri, che si presta ad alcune osservazioni semplici e forse di interesse generale. Iniziamo dai numeri primi gemelli. Come è noto, i numeri primi sono gli interi maggiori di 1 che non hanno divisori positivi diversi da se stessi e 1. Dunque 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e così via. Scorrendo la lista si notano le coppie di numeri primi, detti “gemelli”, (3, 5), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43) … in cui la distanza tra i due numeri è 2.
Il fatto che vediamo molte di queste coppie non è sufficiente per affermare che ne esistono infinite, ma rende plausibile questa affermazione. È la celebre Congettura dei numeri primi gemelli, risalente ad Euclide e ancora oggi uno dei non pochi misteri che circondano i numeri primi. Il risultato di Zhang è un passo fondamentale verso la dimostrazione della congettura. Ma come si distribuiscono i numeri primi? La distribuzione dei numeri primi all’interno degli interi non è chiara. Uno dei principali risultati in questo senso è il Teorema dei numeri primi, congetturato da Carl Fiedrich Gauss nel 1793 (quando aveva 16 anni) e dimostrato indipendentemente nel 1896 da Jacques Hadamard e Charles de la Vallée Poussin, secondo cui ci sono (asintoticamente) N/ln(N) numeri primi minori di N. Più recentemente, Ben Green e Terence Tao hanno dimostrato nel 2004 che l’insieme dei numeri primi contiene progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe.
In rete chi volesse cimentarsi col problema può trovare, alcuni articoli ed esposizioni di diversa difficoltà.
E veniamo al punto più curioso del lavoro di Zhang: 70.000.000 è molto più grande di 2. È vero. Ma il salto più grande è quello dall’infinito al finito (dall’illimitato al limitato), cioè dimostrare che esiste un numero, in questo caso 70.000.000, che controlla le distanze di infinite coppie di numeri primi. È poi possibile che il risultato venga raffinato dal suo autore o da altri, arrivando, se non a 2, almeno a numeri non troppo grandi.
I numeri primi sono applicati nella crittografia (chi scrive ne ha trattato nell’articolo “Crittografia” suEmmeciquadro n. 21), ma il risultato di Zhang non sembra avere applicazioni immediate. Tuttavia la storia della matematica insegna che i risultati importanti come quello di Zhang hanno spesso ricadute di grande utilità e fascino in campi apparentemente lontani della scienza e della tecnica: il sistema RSA, ad esempio, applicato in crittografia a partire dal 1978, si basa su un teorema enunciato da Fermat nel 1640 e dimostrato da Eulero nel 1736.